Question

【題目】過拋物線(其中)的焦點的直線交拋物線于兩點，且兩點的縱坐標之積為．

(1)求拋物線的方程；

(2)當時，求的值；

(3)對于軸上給定的點(其中)，若過點和兩點的直線交拋物線的準線點，求證：直線與軸交于一定點．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）1； （3）見解析.

【解析】

（1）設直線AB的方程，聯立拋物線方程，運用韋達定理，可得p＝4，即得拋物線方程；（2）推理證明=，整理即可得到所求值；（3）設A（，y1），B（，y2），P（﹣2，s），運用三點共線的條件：斜率相等，可得s，設AP交x軸上的點為（t，0），運用韋達定理，化簡整理可得所求定點．

(1)過拋物線(其中)的焦點的直線

為，代入拋物線方程，可得，

可設，

即有，解得，

可得拋物線的方程為；

(2)由直線過拋物線的焦點，

由（1）可得，將代入可得；

(3)證明：設，，，

由三點共線可得

，可得，①

設交軸上的點為，即有，

代入①，結合，可得，

即有，

可得．即有直線與軸交于一定點．