Question

【題目】如圖所示，公園內有一塊邊長為的等邊形狀的三角地，現修成草坪，圖中把草坪分成面積相等的兩部分，在上，在上．

（Ⅰ）設，試用表示的函數關系式；

（Ⅱ）如果是灌溉水管，為節約成本希望它最短，的位置應該在哪里？如果是參觀線路，則希望它最長，的位置又在哪里？請給予證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先，利用三角形的面積是面積的一半，分別表示面積后，用表示,然后，利用余弦定理表示；（Ⅱ）根據上一問的結果，，然后通過換元，設，將問題，轉化為對勾函數求最值．

試題解析：解：（Ⅰ）在中，在上，

，

，在中，由余弦定理得：

（6分）

（Ⅱ）令 ，則 則

令 ，

由對勾函數單調性可知：在上單調遞減，在上單調遞增．

又

∴有最小值，此時∥，且

有最大值，此時為的邊或的中線上． （12分）