Question

【題目】已知兩點M和N分別在直線y=mx和y=﹣mx（m＞0）上運動，且|MN|=2，動點p滿足： （O為坐標原點），點P的軌跡記為曲線C． （I）求曲線C的方程，并討論曲線C的類型；
（Ⅱ）過點（0，1）作直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，若對于任意m＞1，都有∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）由 ，得P是MN的中點． 設P（x，y），M（x1 ， mx1），N（x2 ， ﹣mx2）依題意得：

消去x1 ， x2 ， 整理得 ．
當m＞1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓；
當o＜m＜1時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；
當m=1時，方程表示圓．
（II）由m＞1，焦點在y軸上的橢圓，直線l與曲線c恒有兩交點，
因為直線斜率不存在時不符合題意，
可設直線l的方程為y=kx+1，直線與橢圓的交點為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
（m4+k2）x2+2kx+1﹣m2=0
，

要使∠AOB為銳角，則有
∴x1x2+y1y2=
即m4﹣（k2+1）m2+1＞0，
可得 ，對于任意m＞1恒成立．
而 ，∴K2+1≤2，﹣1≤k≤1
所以滿足條件的k的取值范圍是[﹣1.1]
【解析】（I）根據題意可判斷出P是MN的中點．設出P，M，N的坐標，根據題意聯立方程求得 ，然后對m＞1，o＜m＜1和m=1對方程表示出曲線進行分類討論．（II）設出直線l的方程，與橢圓的方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2 ， 利用直線方程表示出y1y2 ， 要使∠AOB為銳角，需 ，利用向量的基本運算整理得 ，利用基本不等式求得 進而求得k的范圍．