Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+alnx（a為實(shí)常數(shù)）
（1）若a=﹣2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（0，+∞），

則f′（x）=2x﹣ = （x＞0）

由于f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；

（2）解：f′（x）=2x+ = （x＞0），

當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非負(fù)（僅當(dāng)a=﹣2，x=1時(shí)，f′（x）=0），

故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（1）=1

②若﹣2e2＜a＜﹣2，當(dāng)x= 時(shí)，f′（x）=0；

當(dāng)1≤x＜ 時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）是減函數(shù)；

當(dāng) ＜x≤e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．

故[f（x）]min=f（ ）= ln（﹣ ）﹣ ．

③若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（僅當(dāng)a=﹣2e2，x=e時(shí)，f'（x）=0），

故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（e）=a+e2．

綜上可知，當(dāng)a≥﹣2時(shí)，f（x）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；

當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣2時(shí)，f（x）的最小值為 ln（﹣ ）﹣ ，相應(yīng)的x值為 ；

當(dāng)a≤﹣2e2時(shí)，f（x）的最小值為a+e2，相應(yīng)的x值為e．

（3）解：不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

因而 （x∈[1，e]）

令 （x∈[1，e]），則 ，

當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，

故g（x）的最小值為g（1）=﹣1，所以a的取值范圍是[﹣1，+∞）

【解析】（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求導(dǎo)f′（x）=2x+ = （x＞0），當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．分①a≥﹣2，②﹣2e2＜a＜﹣2，③a≤﹣2e2，三種情況得到函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)性，進(jìn)而得到[f（x）]min；（3）由題意可化簡得到 （x∈[1，e]），令 （x∈[1，e]），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為g（1）=﹣1．