Question

【題目】如圖，B,C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100km，海島A在城市B的正東方50處．從海島A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中銳角的正切值為）航行到海岸公路P處登陸，再換乘汽車到城市C．已知船速為25km/h，車速為75km/h.

（1）試建立由A經P到C所用時間與的函數解析式；

（2）試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），定義域為（2）17.68

【解析】

試題分析：（1）由輪船航行的方位角為，可得，，由直角三角形的性質及三角函數的定義可得，，所以，則由經到 所用時間與的函數關系為，可得函數的定義域為，其中銳角的正切值為；（2）利用導數研究函數的單調性，可得在上遞減，在上遞增，（），所以可得時函數取得最小值，此時 ≈17.68.

試題解析：（1）由題意，輪船航行的方位角為θ，所以，，則，．． 由A到P所用的時間為，由P到C所用的時間為，所以由A經P到C所用時間與θ的函數關系為．函數的定義域為，其中銳角的正切值為.

（2）由（1），，，，令，解得，設θ0，使

		θ0
		0
	減函數	極小值	增函數

所以，當時函數f(θ)取得最小值，此時BP=≈17.68，

答：在BC上選擇距離B為17.68 處為登陸點，所用時間最少．