Question

已知任何一個三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有對稱中心M（x₀，f（x₀）），記函數f（x）的導函數為f′（x），f′（x）的導函數為f″（x），則有f″（x）=0．若函數f（x）=x³-3x²，則f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+f（

3

2014

）+…+f（

4027

2014

）=（　　）

• A、4027
• B、-4027
• C、8054
• D、-8054

Answer 1

考點：導數的運算

專題：新定義,導數的綜合應用

分析：由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2013對-4和一個f（1）=-2，可得答案．

解答：解：由題意f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，故函數f（x）=x³-3x²關于點（1，-2）對稱，
即f（x）+f（2-x）=-4．
∴f（

1

2014

）+f（

4027

2014

）=-4，…f(

2013

2014

)+f(

2015

2014

)=-4，f(

2014

2014

)=f(1)=-2，
∴（

1

2014

）+f（

2

2014

）+f（

3

2014

）+…+f（

4027

2014

）=-4×2013+（-2）=-8054，
故選：D．

點評：本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．