Question

如圖，點P從點O出發，分別按逆時針方向沿周長均為12的正三角形、正方形運動一周，O，P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系分別記為y=f（x），y=g（x），定義函數h（x）=

f(x) ，f(x)≤g(x) g(x) ，f(x)＞g(x)

，對于函數y=h（x），下列結論正確的個數是（　�。�
①h（4）=

10

；                 
②函數h（x）的圖象關于直線x=6對稱；
③函數h（x）值域為[0 ， 

13

]； 
④函數h（x）增區間為（0，5）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：利用已知條件求出函數的解析式，通過函數值，函數圖象的對稱性，單調性判斷選項即可．

解答：解：點P從點O出發，分別按逆時針方向沿周長均為12的正三角形、正方形運動一周，O，P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系分別記為y=f（x）=

x，x∈[0，4] x2-12x+48 ，x∈(4，8) 12-x，x∈[8，12)

，
y=g（x）=

x，x∈[0.3] 18+x2-6x ，x∈(3，6] x2-24x+153 ，x∈(6，9) 12-x，x∈[9，12)

，
①∵函數h（x）=

f(x) ，f(x)≤g(x) g(x) ，f(x)＞g(x)

，f（4）=4，g（4）=

10

∴h（4）=

10

；∴①正確．                 
②函數h（x）的圖象關于直線x=6對稱；
∵兩個幾何圖形是正三角形與正方形，∴函數h（x）的圖象關于直線x=6對稱，正確．
③函數h（x）值域為[0 ， 

13

]； g（x）∈[0.3

2

]，f（x）∈[0，4]，
由

x2-12x+48

=

18+x2-6x

，解得x=5時，f（x）=g（x），此時g（5）=

13

，
∴③正確；
④∵f（x）=

x，x∈[0，4] x2-12x+48 ，x∈(4，8) 12-x，x∈[8，12)

，x∈（6，8），f（x）是增函數，并且 g（x）≥f（x），∴函數h（x）增區間為（0，5），（6，8）．∴④不正確．
綜上①②③正確．
故選：C．

點評：本題考查簡易邏輯的應用，分段函數的圖象與性質，考查基本知識的綜合應用，難度比較大．