Question

如圖，P（x₀，f（x₀））是函數y=f（x）圖象上一點，曲線y=f（x）在點P處的切線交x軸于點A，PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB的面積為

1

2

，則 f′（x₀）與f（x₀）滿足關系式（　　）

• A、f′（x₀）=f（x₀）
• B、f′（x₀）=[f（x₀）]²
• C、f′（x₀）=-f（x₀）
• D、[f′（x₀）]²=f（x₀）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用

分析：根據導數的幾何意義：f'（x₀）為曲線y=f（x）在x=x₀處切線的斜率，寫出切線方程，令y=0，求出A點的坐標，分別求出AB，PB長，運用三角形的面積公式，化簡即可．

解答：解：設A的坐標為（a，0），
由導數的幾何意義得：
f'（x₀）為曲線y=f（x）在x=x₀處切線的斜率，
故P點處的切線方程為y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
令y=0，則0-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
即x=x₀-

f(x0)

f′(x0)

，即a=x₀-

f(x0)

f′(x0)

，
又△PAB的面積為

1

2

，
∴

1

2

AB•PB=

1

2

，即（x₀-a）•f（x₀）=1，
∴

f(x0)

f′(x0)

•f（x₀）=1即f'（x₀）=[f（x₀）]²，
故選B．

點評：本題是導數的一個應用：求切線方程，關鍵是先確定切點，其次是切線的斜率，同時考查基本的運算化簡能力，是一道基礎題．