Question

【題目】如圖，設F1，F2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，直線y＝kx（k＞0）與橢圓C交于A，B.已知橢圓C的焦距是2，四邊形AF1BF2的周長是4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線AF1，BF1分別與橢圓C交于M，N，求△MNF1面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）＝1；（2）

【解析】

（1）由題意可得2c＝2，4a＝4，b2＝a2﹣c2，由此能求出橢圓的方程.

（2）設A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），則直線AF1：，直線BF1：，聯立求出， ，xN＝，由M，N，E三點共線得kME＝kNE，得t＝﹣，由此能求出△MNF1面積的最大值.

（1）由題意可得2c＝2，4a＝4，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝2，b2＝1，

∴橢圓的方程為：＝1.

（2）設A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），B（﹣x0，﹣y0），

則直線AF1：，直線BF1：

聯立，得，

又＝1，代入化簡得＝0，

∴y0yM＝﹣，∴，∴＝﹣，

同理得，xN＝，設直線MN與x軸交于E（t，0），

由M，N，E三點共線得kME＝kNE，得t＝﹣，

∴＝＝＝≤，當時，取等號.

∴△MNF1面積的最大值為。