Question

（2013•貴陽二模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分別為BE，AE，BC的中點
（Ⅰ）求證：DE∥平面FGH；
（Ⅱ）若點P在直線GF上，

GP

=λ

GF

，且二面角D-BP-A的大小為

π

4

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證明DE∥平面FGH，先找直線與直線平行，即在平面FGH內找一條直線與直線DE平行．因此，取AD得中點M，連接GM，可證出MG∥DE，結合線面平行的判定定理可得DE∥平面FGH；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，根據題中數據得出相應點的坐標進而得到

BD

、

BP

的坐標，利用垂直向量數量積為零的方法，求出

m

=（5-2λ，

3

，2

3

）是平面BDP的一個法向量，結合

n

=（0，0，1）是平面ABP的一個法向量和二面角D-BP-A的大小為

π

4

，利用空間向量的夾角公式建立關于λ的方程，解之可得實數λ的值．

解答：解：（Ⅰ）證明：取AD的中點M，連接MH，MG．
∵G、H、F分別是AE、BC、BE的中點，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即G、F、H、M四點共面，平面FGH即平面MGFH，
又∵△ADE中，MG是中位線，∴MG∥DE
∵DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直線DE與平面FGH平行．
（Ⅱ）在平面ABE內，過A作AB的垂線，記為AP，則AP⊥平面ABCD．
以A為原點，AP、AB、AD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示．
可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2

3

，-2，0），G（

3

，-1，0），F（

3

，1，0）
∴

GF

=（0，2，0），

BD

=（0，-4，2），

BG

=（

3

，-5，0）． 
由

GP

=λ

GF

=（0，2λ，0），可得

BP

=

BG

+

GP

=（

3

，2λ-5，0）．
設平面PBD的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • BP = 3 x+(2λ-5)y=0 m • BD =-4y+2z=0

，取y=

3

，得z=2

3

，x=5-2λ，
∴

m

=（5-2λ，

3

，2

3

），
又∵平面ABP的一個法向量為

n

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2 3

(5-2λ)2+3+12

=cos

π

4

=

2

2

，解之得λ=1或4
即λ的值等于1或4．

點評：本題在特殊四棱錐中證明線面平行，并求滿足二面角D-BP-A的等于

π

4

的點P的位置．著重考查了線面平行的判定定理，利用空間坐標系研究二面角大小等知識點，屬于中檔題．