Question

【題目】已知函數（其中）．

（1）當時，求零點的個數k的值；

（2）在（1）的條件下，記這些零點分別為，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用導數研究函數的單調性，可得當x＞時， ， 為增函數；當時， ， 為減函數，所以，判斷出、、； 的符號，結合函數圖象，利用零點定理可得結果；（2）由（1）知的兩個零點為，不妨設， 可得，進而， ，只需利用導數證明即可得結論.

試題解析：（1）由題x＞0， ，則，

由得，

當x＞時， ， 為增函數；當0<x< 時， ， 為減函數，

所以．

因為，所以，

而

，又，

所以當時， 零點的個數為2．

（2）由（1）知的兩個零點為，不妨設，

于是且，

兩式相減得（*）， 令，

則將代入（*）得，進而，

所以，

下面證明，其中，

即證明，設，

則，令 ，則，

所以為增函數，即為增函數，

故，故為減函數，

于是，即．

所以有，從而．而由，得，

所以，得證．