Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，點在上且其橫坐標為1，以為圓心、為半徑的圓與的準線相切.

（1）求的值；

（2）過點的直線與交于，兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，若點關于的對稱點在上，求的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)本題可以根據“點到準線的距離”等于“點到焦點的距離”得出的長，再根據“圓心到準線的距離”以及“點到焦點的距離”都是圓的半徑即可列出算式并得出結果；

(2)首先可以根據題意畫出圖形，然后設出直線的方程以及直線的方程，再然后通過聯立方程組求出點的縱坐標以及點的縱坐標之和，最后通過計算出點的縱坐標并與點的縱坐標進行比較即可計算出的值并得出結果。

（1）圓心到準線的距離為，因為點的橫坐標為1，所以，

依題意，有，所以。

（2）如圖所示，設點關于的對稱點為，與的交點為，線段與直線的交點為，設直線的方程為，

將點的橫坐標為帶入拋物線方程中可得，

因為、分別為和的中點，所以，直線的方程為，

聯立方程組，得，

因為是該方程的一個根，所以它的另一個根為，即點的縱坐標為.

聯立方程組，得，

設，，則，

設，因為是平行四邊形，所以，

即，

所以，即.

所以點與點的縱坐標相等，軸，

因為，所以，的方程為。