Question

【題目】在四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，且，，．

（I）求證：；

（II）求二面角_____的余弦值；

從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

（III）若是棱的中點，求證：對于棱上任意一點，與都不平行．

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）見解析（III）見解析

【解析】

（I）根據面面垂直的性質及線面垂直的判定定理，可證明平面，進而證明；

（II）在平面內過點D作，交于H，以D為原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得各平面法向量，由法向量法即可求得各二面角的大小；

（III）假設棱BC上存在點F，．設表示出，，設，可得關于的方程組，方程組無解即可確定與不平行.

（I）證明：因為平面平面，平面平面，

平面，，

所以平面，

又因為平面，

所以．

（Ⅱ）選擇①：在平面內過點D作，交于H．

由（I）可知，平面，所以．

故兩兩垂直，

如圖，以D為原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則．

因為平面，所以平面的一個法向量為．

而，，

設平面的一個法向量為

則由，得，

取，有．

所以．

由題知二面角為銳角，

故二面角的余弦值為．

選擇②：（下面給出關鍵點供參考，若與上面建系相同，）

平面ABCD的一個法向量為；

平面PBD的一個法向量為；

二面角為鈍角：二面角的余弦值為．

選擇③：（下面給出關鍵點供參考，若與上面建系相同，）

平面ABCD的法向量；

平面PBC的法向量；

二面角為銳角；二面角的余弦值為．

（Ⅲ）假設棱BC上存在點F，．設．

依題意，可知，，

，，

，，設，

則，而此方程組無解，

故假設不成立，所以結論成立．