Question

【題目】已知集合，對于，，定義A與B的差為；A與B之間的距離為．

（I）若，試寫出所有可能的A，B；

（II），證明：

（i）；

（ii）三個數中至少有一個是偶數；

（III）設，中有m（，且為奇數）個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為，證明：．

Answer 1

【答案】（I）；；；

（II）（i）見解析（ii）見解析

（III）見解析

【解析】

（I）根據定義，結合即可確定所有可能的A，B；

（II）（i）由，令，討論和即可代入絕對值式子化簡，即可證明；（ii）設，，，，，．記，設t是使成立的i的個數，

結合（i）中的結論可得，由此可知，k，l，h三個數不可能都是奇數，得證.

（III）記為P中所有兩個元素間距離的總和，設P中所有元素的第i個位置的數字中共有個1，個0，則可得，根據P為奇數可得，因而，即可證明不等式成立.

（I）根據定義及，可知有以下四種情況：

；；

；

（Ⅱ）令，

（i）證明：對，

當時，有，

當時，有．

所以

．

（ⅱ）證明：

設，，，

，，．

記，由（I）可知，

，

，

，

所以中1的個數為k，

的1的個數為l．

設t是使成立的i的個數，則．

由此可知，k，l，h三個數不可能都是奇數，

即三個數中至少有一個是偶數．

（Ⅲ）記為P中所有兩個元素間距離的總和，

設P中所有元素的第i個位置的數字中共有個1，個0，

則．

因為m為奇數，所以,

且或時，取等號．

所以．

所以．