Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由解析式確定定義域，當(dāng)時(shí)，表示此時(shí)的表達(dá)式并求導(dǎo)，利用分類討論參數(shù)a，進(jìn)而分析零點(diǎn)情況；當(dāng)時(shí)，顯然無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)的存在性定理可證得只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，進(jìn)而只有一個(gè)零點(diǎn)即，解得，綜上可得答案；

（2）令，恒成立等價(jià)于恒成立，進(jìn)而利用分類討論思想借助導(dǎo)數(shù)表示，求得答案.

定義域：.

（1）當(dāng)時(shí)，，.

①當(dāng)時(shí)，，在單增，，∴在無零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，在單增，又，由，，，∴在恰有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，，在單減，在單增，

要使在恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得

綜上所述，若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則或，即實(shí)數(shù)的范圍是.

（2）令，

，又，要使在恒成立.

①當(dāng)時(shí)，在單減，在單增，雖然，

但當(dāng)時(shí)，所以在恒成立不成立，不合題意.

②當(dāng)時(shí)，在恒成立，在單增，雖然，

但當(dāng)時(shí)，所以在恒成立不成立，不合題意.

③當(dāng)時(shí)，在恒成立，在單減，所以要使在恒成立的充要條件是，即，解得，故.

綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是，即實(shí)數(shù)的范圍.