Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，過點M（-1，0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點．
（1）若直線l的斜率為1，且

PM

=-

3

5

QM

，求橢圓的標準方程；
（2）若（1）中橢圓的右頂點為A，直線l的傾斜角為α，問α為何值時，

AP

•

AQ

取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓的離心率為

3

2

，所以

c

a

=

3

2

，所以可找到a，b之間的關系，設出橢圓方程，再因為過點M（-1，0），斜率為1的直線l方程為y=x+1，代入橢圓方程，消去x，得到關于y的一元二次方程，求出兩根之和與兩根之積，再根據

PM

=-

3

5

QM

找P，Q縱坐標關系，化簡，即可求出橢圓中a，b的值，進而求出橢圓方程．
（2）先設出直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用根與系數關系，求出P，Q縱點坐標之和與之積，計算

AP

•

AQ

，用P，Q縱點坐標表示，轉化為縱點坐標之和與之積，再用前面求出的帶斜率k的式子表示，再用求最值的方法求出k為何值時，

AP

•

AQ

有最大值．

解答：解：（1）e=

3

2

⇒

c2

a2

=

3

4

⇒a2=4b2，故橢圓方程為x²+4y²=4b²，
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），由

PM

=-

3

5

QM

得y1=-

3

5

y2，
由

y=x+1 x2+4y2=4b2

消去x得5y2-2y+1-4b2=0，∴y₁+y₂=

2

5

，y1y2=

1-4b2

5

，
由此得b²=1，a²=4，橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）當直線l的斜率存在時，設l的方程為：y=k（x+1）代入橢圓方程得：x²+4k²（x+1）²=4⇒（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0⇒

x1+x2=- 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2

，所以

AP

•

AQ

=(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（1+k²）x₁x₂+（k²-2）（x₁+x₂）+4+k²=

33k2

1+4k2

=

33

1 k2 +4

＜

33

4

，
當直線l的斜率不存在即α=90°時，

AP

•

AQ

=

33

4

，
因此當α=90°時，

AP

•

AQ

取得最大值，最大值為

33

4

點評：本題考查了利用直線與橢圓關系求橢圓方程，以及橢圓與向量關系，計算量較大，做題時應認真計算．