Question

已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

11

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：先設橢圓方程的方程，然后與直線方程聯立消去y，得到兩根之和、兩根之積的關系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=

10

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，可得到兩點坐標的關系式，然后再與兩根之和、兩根之積的關系式聯立可求m，n的值，從而可確定橢圓方程．

解答：解析：設所求橢圓的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0），
依題意，點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

mx2+ny2=1 y=2x+1

解之并整理得（m+4n）x²+4nx+n-1=0
所以：x₁+x₂=-

4n

m+4n

，x₁x₂=

n-1

m+4n

        ①
由OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（2x₁+1）（2x₂+1）=0，5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0
∴5×

n-1

m+4n

+2×

-4n

m+4n

+1=0，∴m+n=5      ②
又由|PQ|=

10

11

∴|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=

100

121

∴（x₁-x₂）²+（2x₁-2x₂）²=

100

121

，
∴5（x₁+x₂）²-20x₁x₂=

100

121

，（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

20

121

，③
由①②③可得：19n²-98n+120=0
∴n=2或n=

60

19

，m=3或m=

35

19

故所求橢圓方程為3x²+2y²=1，或

35x2

19

+

60y2

19

=1．

點評：本題主要考查直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題一般是將兩方程聯立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出兩根之和、兩根之積，再由題中條件可解題．