Question

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，左焦點為F₁（-3，0），右準線方程為x=

25

3

．
（1）求橢圓的標準方程和離心率e；
（2）設P為橢圓上第一象限的點，F₂為右焦點，若△PF₁F₂為直角三角形，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可得

c=3 a2 c = 25 3

可求a，c，進而可求b，橢圓方程
（2）由△PF₁F₂為直角三角形，分類討論：①當∠PF₂F₁=90°②當∠F₂PF₁=90°時，結合橢圓定義和勾股定理，可分別進行求解

解答：解：（1）由題意可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，----------------------（2分）
由左焦點為F₁（-3，0），右準線方程為x=

25

3

，得

c=3 a2 c = 25 3

----------------------（4分）
解得：

a=5 c=3

從而b=4．----------------------（6分）
所以所求橢圓標準方程為

x2

25

+

y2

16

=1．----------------------（8分）
（2）①當∠PF₂F₁=90°時由（1）可知右焦點為F₂（3，0），所以此時P點坐標為(3，

16

5

)，
于是△PF₁F₂的面積為S△PF1F2=

1

2

×6×

16

5

=

48

5

，----------------------（12分）
②當∠F₂PF₁=90°時，由橢圓定義和勾股定理得，

PF12+PF22=36，…(1) PF1 +PF2  =10，…(2)

（2）式的平方減去（1）式得PF₁•PF₂=32，但PF1•PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=25，所以這種情況不存在．
綜合①②得S△PF1F2=

48

5

．----------------------（16分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程，三角形面積的求解的關鍵式橢圓性質及橢圓第二定義的求解