Question

【題目】設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數．
（1）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）設n∈N* ， 證明： + +…+ ＜ln（n+1）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以 （x≥0）

已知f（x）≥ag（x）恒成立，即 恒成立．

設 （x≥0），

則 ．

當a≤1時，φ'（x）≥0（僅當x=0，a=1時等號成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上單調遞增，又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

即a≤1時， 恒成立（僅當x=0時等號成立）．

當a＞1時，對x∈（0，a﹣1]恒有φ'（x）＜0，

∴φ（x）在（0，a﹣1]上單調遞減，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0．

即a＞1時，存在x＞0，使φ（x）＜0，

故知 不恒成立．

綜上可知，a的取值范圍是（﹣∞，1]．

（2）證法一：在（1）中取a=1，可得 ，x＞0．

令 ，n∈N*，則

下面用數學歸納法證明：

①當n=1時， ，結論成立

②假設當n=k時結論成立，即 ．

那么當n=k+1時， ，

即結論成立．

由①②可知，結論對n∈N*成立．

證法二：

在（1）中取a=1，可得ln（1+x）＞ ，x＞0

令x= ，n∈N*，則 ．

故有 ， ，…， ，

上述各式相加可得 ，

結論得證

證法三：

如圖， 是由曲線 ，x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，

而 是圖中所示各矩形的面積和，

∴ ，結論得證．

【解析】（1）求出函數的導數，問題轉化為 恒成立．設 （x≥0），根號函數的單調性求出a的范圍即可；（2）法一：根據數學歸納法證明，法二：根據函數的單調性判斷即可；法三：根據定積分的意義證明即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．