Question

【題目】已知函數f(x)＝x2＋bx為偶函數，數列{an}滿足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.

(1)設bn＝log2(an－1)，證明：數列{bn＋1}為等比數列；

(2)設cn＝nbn，求數列{cn}的前n項和Sn.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

(1)證明：∵函數f(x)＝x2＋bx為偶函數，

∴b＝0，

∴f(x)＝x2，

∴an＋1＝2(an－1)2＋1，

∴an＋1－1＝2(an－1)2，

∴＝＝＝2.

∵a1＝3，

∴b1＝log22＝1，

∴bn＋1＝2n.

即bn＝2n－1，

∴數列{bn＋1}是以2為首項，以2為公比的等比數列．

(2)解：由題意得cn＝n2n－n.

設An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，

設Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，

∴2An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.

∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，

∴An＝(n－1)2n＋1＋2.

∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－.