Question

【題目】已知函數

（1）若，試討論的單調性；

（2）若，實數為方程的兩不等實根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）根據題意得，分與討論即可得到函數的單調性；

（2）根據題意構造函數，得，參變分離得，

分析不等式，即轉化為，設，再構造函數，利用導數得單調性，進而得證.

（1）依題意，當時，，

①當時，恒成立，此時在定義域上單調遞增；

②當時，若，；若，；

故此時的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）方法1：由得

令，則，

依題意有，即，

要證，只需證（不妨設），

即證，

令，設，則，

在單調遞減，即，從而有.

方法2：由得

令，則，

當時，時，

故在上單調遞增，在上單調遞減，

不妨設，則，

要證，只需證，易知，

故只需證，即證

令，（），

則

==，

（也可代入后再求導）

在上單調遞減，，

故對于時，總有.由此得