Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且.原問題轉(zhuǎn)化為考查二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時(shí)，原問題等價(jià)于.構(gòu)造函數(shù)，則.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)， 取得最大值，即， 成立.

試題解析：

（1）的定義域?yàn)?/span>， .

考慮.

①當(dāng)，即時(shí)， 恒成立， 在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即或時(shí)，由得.

若，則恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

若，則，

此時(shí)或；

.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時(shí)， .

令，

.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)， 取得最大值，

故，即成立，得證.