Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為直角梯形，AD‖BC，且 ，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為等邊三角形，M是棱PC上的一點，設 （M與C不重合）．

（1）求證：CD⊥DP；
（2）若PA∥平面BME，求k的值；
（3）若二面角M﹣BE﹣A的平面角為150°，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為△PAD為等邊三角形，E為AD的中點，所以PE⊥AD．

因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD．

又CD平面ABCD，所以PE⊥CD．

由已知得CD⊥DA，PE∩AD=E，所以CD⊥平面PAD．

雙DP平面PAD，所以CD⊥DP．

（2）解：連接AC交BE于N，連接MN．

因為PA∥平面BME，PA平面PAC，

平面PAC∩平面BME=MN，所以PA∥MN．

因為 AD∥BC，BC⊥DC，所以∠CBN=∠AEN=90°．

又CB=AE，∠CNB=∠ANE，所以△CNB≌△ANE．

所以CN=NA，則M為PC的中點，k=1．

（3）解：方法一：

依題意，若二面角M﹣BE﹣A的大小為150°，則二面角M﹣BE﹣C的大小為30°．

連接CE，過點M作MF∥PE交CE于F，過A（0，1，0）作FG⊥BE于G，連接MG．

因為PE⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．

又BE平面ABCD，所以MF⊥BE．

又MF∩FG=F，MF平面MFG，FG平面MFG，

所以BE⊥平面MFG，從而BE⊥MG．

則∠MGF為二面角M﹣BE﹣C的平面角，即∠MGF=30°．

在等邊△PAD中， ．由于 ，所以 ．

又 ，所以 ．

在△MFG中，

解得k=3．

方法二：由于EP⊥EA，EP⊥EB，EA⊥EB，以E為原點，

射線EB，EA，EP分別為x正半軸，y正半軸，z正半軸建立空間直角坐標系，

如圖．∵ ，∠BAD=60°，

∴A（0，1，0）， ， ，D（0，﹣1，0），E（0，0，0），

平面ABE即xoy平面的一個法向量為 =（0，0，1）．

設M（x，y，z），由條件 可知： （k＞0），

即 ，

∴ ，解得：

即 ， ．

設平面MBE的一個法向量為 =（x'，y'，z'），

則 ，x'=0，令 ，則z'=k．即 =（0， ）．

因為二面角M﹣BE﹣A的平面角為150°，

所以|cos＜ ＞|=|cos150°|，即 = = ，

解得k=±3．

因為k＞0，所以k=3．

【解析】（1）推導出PE⊥AD，從而PE⊥平面ABCD，進而PE⊥CD，再由CD⊥DA，得CD⊥平面PAD，由此能證明CD⊥DP．（2）連接AC交BE于N，連接MN，推導出PA∥MN，從而∠CBN=∠AEN=90°，進而△CNB≌△ANE．由此能求出k=1．（3）法一：連接CE，過點M作MF∥PE交CE于F，過A（0，1，0）作FG⊥BE于G，連接MG，則∠MGF為二面角M﹣BE﹣C的平面角，由此能示出k．
法二：以E為原點，射線EB，EA，EP分別為x正半軸，y正半軸，z正半軸建立空間直角坐標系，利用和量法能求出k．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．