Question

【題目】如圖，在幾何體ABCDE中，BE⊥平面ABC，CD∥BE，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，且BE=AB=4，CD=2，點F在線段AC上，且AF=3FC

（1）求異面直線DF與AE所成角；
（2）求平面ABC與平面ADE所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題得，以點B為原點， 所在的直線分別為x，y，z軸，

建立如圖的空間直角坐標系，

則B（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），E（0，0，4），

∴ ， ，

∵AF=3FC∴

∴ ∴F的坐標為（1，3，0）

∵CD∥BE且CD=2∴D的坐標為（0，4，2）

∴

設異面直線DF與AE所成角為θ，

則 ，∴ ，

∴異面直線DF與AE所成角為 ．

（2）解：平面ABC的一個法向量為 ，

設 =（x，y，z） 是平面ADE的一個法向量，

=（﹣4，4，2）， ，

則 ， ，即

令y=1，解得x=2，z=2.

設平面ABC與平面ADE所成二面角為θ，由圖可知，θ為銳角，

∴

∴平面ABC與平面ADE所成二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）以點B為原點， 所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線DF與AE所成角．（2）求出平面ABC的一個法向量和平面ADE的一個法向量，利用向量法能求出平面ABC與平面ADE所成二面角的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系)．