Question

【題目】設等差數列{an}的前項和為Sn ， 且a2=2，S5=15，數列{bn}的前項和為Tn ， 且b1= ，2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*）
（Ⅰ）求數列{an}通項公式an及前項和Sn；
（Ⅱ） 求數列{bn}通項公式bn及前項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由等差數列{an}的公差為d，由等差數列的性質可知：S5=5a3=15，則a3=3，
d=a3﹣a2=1，
首項a1=1，
∴數列{an}通項公式an=1+（n﹣1）=n，
前n項和Sn= = ；
（Ⅱ）2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*），
則 = .，
∴ = ， = ， = × ，… = ，
∴當n≥2時， =（ ）n﹣1 ， 即bn= ，
當n=1時，b1= ，符合上式，
∴數列{bn}通項公式bn= ，
∴Tn= + + +…+ ，
Tn= + + +…+ + ，
兩式相減得： Tn= + + +…+ ﹣ ，
= ﹣ ，
=1﹣ ﹣ ，
=1﹣ ，
Tn=2﹣ ，
數列{bn}前項和Tn=2﹣ ．
【解析】（Ⅰ）由等差數列的性質可知：S5=5a3=15，則a3=3，d=a3﹣a2=1，a1=1，根據等差數列通項公式及前n項和公式即可求得an及Sn；（Ⅱ）由題意可知： = ，采用累乘法即可求得數列{bn}通項公式bn= ，利用錯位相減法求得數列{bn}前項和Tn ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．