Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的單調增區間；
（3）求方程f（x）=0的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖知，A=1，

∵周期T=4（ ﹣ ）=π，

∴ω= =2，

∴f（x）=sin（2x+φ），

又f（ ）=﹣1，

∴sin（ +φ）=﹣1，

∴ +φ=2kπ+ （k∈Z），

∴φ=2kπ+ （k∈Z），又|φ|＜ ，

∴φ= ，

∴f（x）=sin（2x+ ）

（2）解：﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z．

∴﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z．

∴函數y=f（x）的單調增區間為：[﹣ +kπ， +kπ]k∈Z

（3）解：∵f（x）=0，

∴2x+ =kπ，k∈Z．

∴x=﹣ + kπ，k∈Z．

∴方程f（x）=0的解集為{x|x=﹣ + kπ，k∈Z}

【解析】（1）由圖知，A=1，T=π，于是知ω=2；再由f（ ）=﹣1，可求得φ=2kπ+ （k∈Z），又|φ|＜ ，于是可得φ及函數y=f（x）的解析式；（2）利用正弦函數的單調性，由﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ（k∈Z）可求函數y=f（x）的單調增區間；（3）f（x）=02x+ =kπ（k∈Z），從而可求得方程f（x）=0的解集．
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識點，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能正確解答此題．