Question

（本小題滿分13分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱長都是2，又平面
ABC，D、E分別是AC、CC₁的中點。
（1）求證：平面A₁BD；
（2）求二面角D—BA₁—A的余弦值；
（3）求點B₁到平面A₁BD的距離。

Answer 1

（Ⅰ）證明：以DA所在直線為軸，過D作AC 的垂線為軸，DB所在直線為軸建立空間直角坐標系
則A(1,0,0),C(),E()，A₁(),C₁()，B()
，,
∵ ∴   ………………………………………………2分
 ∴   …………………………………………4分
又A₁D與BD相交
∴AE⊥面A₁BD            ……………………………………………………………5分
（其它證法可平行給分）
(Ⅱ)設面DA₁B的法向量為
由,，取……………………………7分
設面AA₁B的法向量為，
則由，取 ………………9分

故二面角的余弦值為      …………………………………10分
（Ⅲ）,平面A₁BD的法向量取
則B₁到平面A₁BD的距離為   …………………………13分

略