Question

【題目】已知定義域為R的函數 是奇函數．
（1）求實數a，b的值；
（2）判斷f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調性；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0對任意x≥1恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）在R上為奇函數；

∴ ；

∴ ；

解得a=2，b=1

（2）解： ；

x增大時，2x+1增大， 減小，f（x）減小；

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減

（3）解：∵f（x）為奇函數，∴由f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得，f（k3x）＞f（9x﹣3x﹣2）；

又f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減；

∴k3x＜9x﹣3x﹣2，該不等式對于任意x≥1恒成立；

∴（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0對任意x≥1恒成立；

設3x=t，則t2﹣（k+1）t﹣2＞0對于任意t≥3恒成立；

設g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，△=（k+1）2+8＞0；

∴k應滿足： ；

解得 ；

∴k的取值范圍為

【解析】（1）根據f（x）為R上的奇函數便可得到 ，這樣便可求出a=2，b=1；（2）分離常數可以得到 ，根據指數函數y=2x的單調性可以判斷出x增大時，f（x）減小，從而可判斷出f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減；（3）根據f（x）的奇偶性和單調性便可由f（k3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得到（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0對于任意的x≥1恒成立，可設3x=t，從而有t2﹣（k+1）t﹣2＞0對于任意的t≥3恒成立，可設g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，從而可以得到 ，這樣解該不等式組便可得出k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．