Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．
（1）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求二面角P﹣CE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長AB交直線CD于點M，

∵點E為AD的中點，∴ ，

∵ ，∴ED=BC，

∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．

∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，

∵BE平面PBE，CMPBE∴CM∥平面PBE，

∵M∈AB，AB平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB內可以找到一點M（M=AB∩CD），使得直線CM∥平面PBE

（2）解：∵∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°，即AP⊥CD又AB∩CD=M，

∴AP⊥平面ABCD．

又∠ADC=90°即CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD．

因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，其大小為45°．

∴PA=AD．

建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AD=2，則 ．

∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），B（﹣1，1，0）

∴ ， =（0，1，﹣2）， ，

易知平面BCE的法向量為

設平面PCE的法向量為 ，則 ，可得： ．

令y=2，則x=2，z=1，∴ ．

設二面角P﹣CE﹣B的平面角為θ，

則 = = ．

∴二面角P﹣CE﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）延長AB交直線CD于點M，證明CM∥BE，即可使得直線CM∥平面PBE；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設AD=2，則 ．求出平面的法向量，即可求二面角P﹣CE﹣B的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．