Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an≠0，2anan+1=tSn﹣2，其中t為常數． （Ⅰ）設bn=an+1+an ， 求證：{bn}為等差數列；
（Ⅱ）若t=4，求Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：2anan+1=tSn﹣2①，2an+1an+2=tSn+1﹣2②， ②﹣①可得2an+1（an+2﹣an）=tSn+1﹣tSn=tan+1
因為an+1≠0，所以 ，
，
因為t為常數，所以數列{bn}為等差數列．
（II）若t=4，由（I）可得an+2﹣an=2
即數列{an}的奇數項和偶數項分別為公差為2的等差數列，
由a1=1，可得a2=2a1﹣1=1，
當n為奇數時，{an}的奇數項和偶數項分別為 項
所以 ，
當n為偶數時，{an}的奇數項和偶數項分別為 項
所以 ，
綜上，
【解析】（Ⅰ）利用2anan+1=tSn﹣2，將條件變形，利用等比數列的定義證明是常數．（Ⅱ）利用條件，由（ I）可得an+2﹣an=2，即數列{an}的奇數項和偶數項分別為公差為2的等差數列，根據等差數列的求和公式，分類求出即可．
【考點精析】通過靈活運用等差關系的確定和數列的前n項和，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．