Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1 ， F2 ， 設點F1 ， F2與橢圓短軸的一個端點構成斜邊長為4的直角三角形．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設A，B，P為橢圓C上三點，滿足 = + ，記線段AB中點Q的軌跡為E，若直線l：y=x+1與軌跡E交于M，N兩點，求|MN|．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點F1，F2與橢圓短軸的一個端點構成斜邊長為4的直角三角形．

∴2c=4，b=2，

故c=2，a=2 ，

故橢圓C的標準方程為：

（2）

解：設A（2 cosα，2sinα），B（2 cosβ，2sinβ），

∵ = + ，

∴ =（ ， ），

∵點P在橢圓上，

∴（3cosα+4cosβ）2+（3sinα+4sinβ）2=25，

∴cosαcosβ+sinαsinβ=0，

∴cos（α﹣β）=0，

∴a﹣β= ，

∴B（2 sinα，﹣2cosα），

∴AB中點Q的坐標為（ cosα+ sinα，sinα﹣cosα），

設Q的點坐標為（x，y），

∴x= cosα+ sinα，y=sinα﹣cosα，

∴ =cos2α+2cosαsinα+sin2α=1+2cosαsinα，y2=cos2α﹣2cosαsinα+sin2α=1﹣2cosαsinα

∴ +y2=2，

即線段AB中點Q的軌跡為E的方程為 ，

設M，N兩點的坐標為（x1，y1），（x2，y2），

由 ，消y，整理得5x2+8x﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

∴|MN|= |x1﹣x2|= = = ．

【解析】（1）由題意可得c=2，即可求出b=2，即可求出橢圓的標準方程，（2）設A（2 cosα，2sinα），B（2 cosβ，2sinβ），根據題意和點P在橢圓上，化簡整理可得a﹣β= ，再根據中點坐標公式，消α，線段AB中點Q的軌跡為E的方程為 ，再設M，N兩點的坐標為（x1 ， y1），（x2 ， y2），根據弦長公式即可求出．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．