Question

【題目】已知函數f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣a，且x=﹣ 是方程f（x）=0的一個解．
（1）求實數a的值及函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的單調遞減區間；
（3）若關于x的方程f（x）=b在區間（0， ）上恰有三個不相等的實數根x1 ， x2 ， x3 ， 直接寫出實數b的取值范圍及x1+x2+x3的取值范圍（不需要給出解題過程）

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣a，且x=﹣ 是方程f（x）=0的一個解，

∴f（﹣ ）=0，

即2cos（﹣ ）sin（﹣ + ）﹣a=0，

解得a=sin = ，

∴f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣

=2cosx（ sinx+ cosx）﹣

= sinxcosx+cos2x﹣

= sin2x+ ﹣

= sin2x+ cos2x

=sin（2x+ ）；

∴函數f（x）的最小正周期為T= =π

（2）解：令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z；

∴函數f（x）的單調遞減區間是[ +kπ， +kπ]，（k∈Z）

（3）解：關于x的方程f（x）=b在區間（0， ）上恰有三個不相等的實數根x1，x2，x3，

則實數b的取值范圍是（ ，1）；

x1+x2+x3的取值范圍是（ ， ）

【解析】（1）根據f（﹣ ）=0求出a的值，再化簡f（x），求出f（x）的最小正周期；（2）根據正弦函數的圖象與性質，即可求出f（x）的單調遞減區間是；（3）根據函數f（x）的圖象與性質，結合題意，即可得出b與x1+x2+x3的取值范圍．