Question

【題目】已知函數f（x）=x2+alnx．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a=﹣2時，求函數f（x）的極值；
（3）若函數g（x）=f（x）+ 在[1，4]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=1時，f（x）=x2+lnx，f′（x）=2x+ ，

故f（1）=1，f′（1）=3，

故切線方程是：y﹣1=3（x﹣1），

即3x﹣y﹣2=0；

（2）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）

當a=﹣2時，f′（x）=2x﹣ = ，

令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故函數f（x）單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）

∴極小值是f（1）=1，沒有極大值；

（3）解：由g（x）=x2+alnx+ ，得g′（x）=2x+ ﹣ ，

又函數g（x）=x2+alnx+ 為[1，4]上的單調減函數，

則g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，

所以不等式2x+ ﹣ ≤0在[1，4]上恒成立，

即a≤ ﹣2x2在[1，4]上恒成立，

設φ（x）= ﹣2x2，顯然（x）在[1，4]上為減函數，

所以（x）的最小值為（4）=﹣ ，

∴a的取值范圍是a≤﹣

【解析】（1）求出f（1），f′（1），代入切線方程即可；（2）求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（3）由g（x）=x2+alnx+ ，得g′（x），由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤ ﹣2x2在[1，4]上恒成立．構造函數φ（x）= ﹣2x2 ， 求其最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．