Question

【題目】已知橢圓 的離心率 ，左右焦點分別為 是橢圓在第一象限上的一個動點，圓 與 的延長線， 的延長線以及線段 都相切， 為一個切點.

（1）求橢圓方程；

（2）設 ，過 且不垂直于坐標軸的動點直線 交橢圓于 兩點，若以 為鄰邊的平行四邊形是菱形，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）圓為三角形內切圓，由內切圓性質及橢圓定義得，即 ，再由 ，可知（2）以 為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以 設 ， 方程為則可得坐標之間關系，利用直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理代入坐標關系化簡可得

試題解析：解：（1）設圓 與 的延長線切于點 ，與線段 切于點 ，則

， ，故 ，由 ，可知 ，橢圓方程為 .

（2）設 方程為 ，代入橢圓方程可得 ，設 ，則 ，以 為鄰邊的平行四邊形是菱形， ， 的方向向量為 ， ， 方程為 .