Question

【題目】如圖， 為圓的直徑，點(diǎn)， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，再根據(jù)圓性質(zhì)得，根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得平面，，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組求各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角關(guān)系建立方程，求出的長(zhǎng)

試題解析：（Ⅰ）∵平面平面，

平面平面，∴平面，

∵平面，∴，

又∵為圓的直徑，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面

（Ⅱ）

設(shè)中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 方向分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，∴，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，解得．

∴．

由（1）可知平面，取平面的一個(gè)法向量為，

∴，即，解得，

因此，當(dāng)的長(zhǎng)為時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的大小為60°。