Question

【題目】設函數。

（Ⅰ）求證：函數有且只有一個極值點；

（Ⅱ）求函數的極值點的近似值，使得；

（Ⅲ）求證：對恒成立。

（參考數據：）。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設條件運用導數的知識推證；（Ⅱ）借助題設條件運用函數零點的定義推證；（Ⅲ）依據題設條件,借助（Ⅰ）的結論運用導數的知識求函數的最小值進行推證。

試題解析：

（Ⅰ）由題意可知，函數的定義域為，且。

∵函數與均在上遞增，

∴在上遞增。

又∵在區間上的圖像是連續的，且，

∴在區間上至少有一個零點，記為，且在左右兩側的函數值異號。

綜上可知，函數有且只有一個變號零點。即函數有且只有一個極值點為。

（Ⅱ）∵，且在上的圖象連續,，

∴的零點，即的極值點，即。

∴為的近似值可以取，此時的滿足。

（事實上，極值點的近似值的取值在區間內都是可以的，只要說理充分即可。）

（Ⅲ）∵，且在上圖象連續，，

∴的零點。

的極值點。

由（Ⅰ）知，且的最小值為。

∵函數在上遞減，且，

∴。

∴對恒成立。