Question

【題目】解答題。
（1）偶函數f（x）在[0，+∞）上單調遞減，求滿足f（2x﹣1）＞f（3）的x的取值范圍
（2）已知f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=log2（x+1）．解關于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）為偶函數，∴f（x）=f（|x|），

∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），

則不等式f（2x﹣1）＞f（3）轉化為：f（|2x﹣1|）＞f（3），

∵偶函數f（x）在[0，+∞）上為單調遞減，

∴|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，

則不等式的解集是：（﹣1，2）

（2）解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）=1，

∴f（x）在在（﹣∞，0）上單調遞減，且f（﹣1）=1，

∵關于x的不等式f（x）＞1，∴x＜﹣1，或x＞1，

故原不等式的解集為{x|x＞1，或x＜﹣1}

【解析】（1）根據偶函數的性質，可知f（x）=f（|x|），將不等式f（2x﹣1）＞f（3）轉化為：f（|2x﹣1|）＞f（3），再運用f（x）在區間[0，+∞）上單調遞減，去掉“f”，列出關于x的不等式，求解即可得到x的取值范圍．（2）由題意可得 f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，且f（﹣1）=1，由不等式f（x）＞1，可得x的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．