Question

【題目】已知函數（）在定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）若有兩個不同的極值點，，且，若不等式恒成立.求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求導得到有兩個不相等實根，令，計算函數單調區間得到值域，得到答案.

（2），是方程的兩根，故，化簡得到，設函數，討論范圍，計算最值得到答案.

（1）由題可知有兩個不相等的實根，

即：有兩個不相等實根，令，

，，

，；，，

故在上單增，在上單減，∴.

又，時，；時，，

∴，即.

（2）由（1）知，，是方程的兩根，

∴，則

因為在單減，∴，又，∴

即，兩邊取對數，并整理得：

對恒成立，

設，，

，

當時，對恒成立，

∴在上單增，故恒成立，符合題意；

當時，，時，

∴在上單減，，不符合題意.

綜上，.