Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，（），數(shù)列滿足：，（），數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）求證：數(shù)列是遞增數(shù)列；若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析，的取值范圍是

【解析】

（1）根據(jù)已知條件和等差數(shù)列的定義，可得是等差數(shù)列，即可求通項(xiàng)公式；

（2）由已知的遞推公式結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求證結(jié)論；

（3）求出通項(xiàng)公式，證當(dāng)時(shí)，即可；并且由已知可得，由此求出的取值范圍．

（1）解：（）．

，即，

是等差數(shù)列．

設(shè)等差數(shù)列的公差為．

又，，

，即．

（2）證明：（），

，由（1）得，

于是

．

，，

是以為首項(xiàng)、以為公比的一個(gè)等比數(shù)列．

（3）證明：由（2）得，

由（1）得，．

于是當(dāng)時(shí)，．

又，．

是遞增數(shù)列．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，

．

即，解得．

所求的取值范圍是．