Question

【題目】如圖，直三棱柱中，點是棱的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，在棱上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先連接，交于點，再由線面平行的判定定理，即可證明平面；

（Ⅱ）先由題意得，，兩兩垂直，以為原點，如圖建立空間直角坐標系

設 ，求出兩平面的法向量，根據法向量夾角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出，進而可得出結果.

解：（Ⅰ）證明：連接，交于點，則為中點，

連接，又是棱的中點，

平面，平面，

平面.

（Ⅱ）解：由已知，，則，，兩兩垂直

以為原點，如圖建立空間直角坐標系

則，

設

則，，

設平面的法向量為 ，

則

∴取平面的一個法向量.

設平面的法向量為 ，

則

∴取平面的一個法向量 .

∴，得或

∵，∴

∴存在點，此時，使二面角的大小為45°.