Question

【題目】已知雙曲線的方程為，離心率,頂點到漸近線的距離為

(1)求雙曲線的方程;

(2)設(shè)是雙曲線上點，,兩點在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由頂點到漸近線距離、離心率和雙曲線的關(guān)系可構(gòu)造方程求得，進而得到雙曲線方程；

（2）假設(shè)三點坐標(biāo)，利用可表示出點坐標(biāo)，代入雙曲線方程整理可得；結(jié)合漸近線斜率和傾斜角的關(guān)系、同角三角函數(shù)和二倍角公式可求得，利用三角形面積公式可將所求面積化為關(guān)于的函數(shù)，利用對號函數(shù)的性質(zhì)即可求得所求取值范圍.

（1）由雙曲線方程可知其漸近線方程為，頂點坐標(biāo)

頂點到漸近線距離

由得： 雙曲線的方程為：

（2）由（1）知：雙曲線漸近線方程為

設(shè)，，，其中，

則，

由得：

，整理可得：

設(shè)

，

又，

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，

即面積的取值范圍為