Question

【題目】如圖所示，在底面為正方形的四棱柱中， .

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）連交于,由條件可得，又由得到 ，從而可得平面．由四邊形為平行四邊形可得，所以平面，因此平面平面．（2）由條件可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的法向量，根據兩向量的夾角的余弦值可求得線面角的正弦值．

試題解析：

（1）證明：連交于，則為中點，

∵，

∴．

∵, 為公共邊，

∴，

∴．

又， ，

∴平面．

由題意得，故四邊形為平行四邊形．

∴，

∴平面，

又平面內，

∴ 平面平面．

（2）由題意得兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵，

∴為等邊三角形，

∴．

又，

∴．

則．

∴， ，

．

設平面的一個法向量為，

由可得 ，

令，則 ．

設與平面所成角為，

則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．