Question

【題目】已知集合，其中 . 表示 中所有不同值的個數(shù).

（Ⅰ）若集合，求；

（Ⅱ）若集合，求證： 的值兩兩不同，并求；

（Ⅲ）求的最小值.（用含的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）從任取兩個數(shù)相加，共有個不同的值，所以；（Ⅱ）對于集合中的和式， .分兩種情況時， 時， ，當(dāng)時，不妨設(shè)，則，即的值兩兩不同，利用組合知識可得；（Ⅲ）不妨設(shè)，可得， 中至少有個不同的數(shù)，即.

試題解析：（Ⅰ）從任取兩個數(shù)相加，共有個不同的值，所以

（Ⅱ）形如和式 共有項，所以.

對于集合中的和式， ：

當(dāng)時， 時， ；

當(dāng)時，不妨設(shè)，則.

所以 的值兩兩不同.

且.

（Ⅲ）不妨設(shè)，可得

.

中至少有個不同的數(shù).

即.

設(shè)成等差數(shù)列， ，

則對于每個和式 ，其值等于（）或

中的一個.去掉重復(fù)的一個,

所以對于這樣的集合, .

則的最小值為.