Question

設，分別是橢圓的左、右焦點，與直線相切的交橢圓于點，恰好是直線與的切點.
（1）求該橢圓的離心率；
（2）若點到橢圓的右準線的距離為，過橢圓的上頂點A的直線與交于B、C兩點，且，求λ的取值范圍.

Answer 1

（1）橢圓的離心率為 （2）或…

（1）由題意可知：的半徑為b，⊥，∴(2a-b)²+b²=4(a²-b²)
即2a=3b,所以橢圓的離心率為……………………  6分
（2）由橢圓的定義可得：，a=3，∴點的坐標為…9分
∴圓的方程為 ……………………10分
∴點A在圓外，且AB·AC=5；∴,
若，則，此時；……………………14分
若，則，此時……………………16分
另解：由橢圓的定義可得：，a=3，∴點的坐標為…9分
∴圓的方程為 ……………………10分
設直線AC的方程為y=kx+2；由此得：；……………………11分
設點B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）∵，∴x₁＝λ x₂ ；
由得
∴
∴；……………………14分
∴
∴或……………………16分