Question

【題目】已知橢圓W： （a＞b＞0）的上下頂點(diǎn)分別為A，B，且點(diǎn)B（0，﹣1）．F1 ， F2分別為橢圓W的左、右焦點(diǎn)，且∠F1BF2=120°．
（Ⅰ）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于N，E為線段MN的中點(diǎn)．直線AE與直線y=﹣1交于點(diǎn)C，G為線段BC的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求∠OEG的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，得b=1．又∠F1BF2=120°，

在Rt△BF1O中，∠F1BO=60°，則a=2．

∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

（Ⅱ）設(shè)M（x0，y0），x0≠0，則N（0，y0），E ．

由點(diǎn)M在橢圓W上，則 ．即 ．

又A（0，1），則直線AE的方程為 ．

令y=﹣1，得C ．

又B（0，﹣1），G為線段BC的中點(diǎn)，則G ．

∴ ， ．

∵ =

= =1﹣y0﹣1+y0=0，

∴ ．則∠OEG=90°，

∠OEG為90°．

【解析】（Ⅰ）由b=1，由∠F1BO=60°，則a=2．即可求得橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）由題意設(shè)N和E點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AE的方程，當(dāng)y=﹣1，即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，求得G點(diǎn)坐標(biāo)，則 ， ．根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得 =0，則 ，則∠OEG=90°．