Question

【題目】對于定義域為D的函數，若同時滿足下列條件：①在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間，使在上的值域為，則把叫閉函數。

（1）求閉函數符合條件②的區間；

（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（3）已知是正整數，且定義在的函數是閉函數，求正整數的最小值，及此時實數k的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是，理由見解析；（3）。

【解析】

試題分析：（1）由題意，在上遞減，在上的值域為，故有，求得、的值，可得結論；（2）取，則由，可得不是上的減函數。同理求得不是上的增函數，從而該函數不是閉函數；（3）由題意，可得方程在上有兩個不等的實根．利用基本不等式求得當時，取得最小值為．再根據函數在上遞減，在遞增，而函數與在有兩個交點，可得正整數的最小值為，此時，，由此求得的范圍。

試題解析：（1）由題意，在上遞減，則解得所以，所求的區間為。

（2）取則，即不是上的減函數。取，即不是上的增函數。所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。

（3）是閉函數，則存在區間，使函數的值域為，在單調遞增，即，為方程的兩個實根，即方程在上有兩個不等的實根。，當且僅當時取等號考察函數

∵函數在上遞減，∴。

∵在遞增，而函數與在有兩個交點。

所以正整數的最小值為，，此時的取值范圍為。