Question

【題目】已知函數是奇函數。

(1)求實數m的值；

(2)判斷函數f(x)在(1,+∞)上的單調性，并給出證明；

(3)當x∈(n,a-2)時,函數f(x)的值域是(1,+∞),求實數a與n的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) .

【解析】試題分析：

(1)由奇函數的性質得到關于實數m的方程，解方程可得m=-1；

(2)結合(1)的結論首先確定函數的解析式，結合對數函數的性質可知當a>1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞減； 當0<a<1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞增；

(3)結合奇函數的性質和(2)中確定的函數的單調性得到關于實數a,n的方程組，分類討論求解方程組可得.

試題解析：

（1）由為奇函數，則對定義域任意恒有即 （舍去1）

(2)由（1）得，當時，

當時， 現證明如下：

設，

(3)由題意知定義域上的奇函數。

①當即時，由(2)知在(n,a-2)上f(x)為增函數，

由值域為(1,+∞)得無解；

②當(n,a-2)(1,+∞)即1≤n<a-2有a>3，

由（2）知在(n,a-2)上f(x)為減函數，

由值域為得