Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x2+2x．現已畫出函數f（x）在y軸左側的圖象，如圖所示，根據圖象：

（1）寫出函數f（x），x∈R的增區間并將圖象補充完整；
（2）寫出函數f（x），x∈R的解析式；
（3）若函數g（x）=f（x）﹣4ax+2，x∈[1，3]，求函數g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，，

則f（x）的單調遞增區間為（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：令x＞0，則﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x

∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，

∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x

∴解析式為f（x）=

（3）解：g（x）=x2﹣2x﹣4ax+2，對稱軸為x=2a+1，

當2a+1≤1時，g（1）=1﹣4a為最小；

當1＜2a+1≤3時，g（2a+1）=﹣4a2﹣4a+1為最小；

當2a+1＞3時，g（3）=5﹣12a為最小；

∴g（x）min=

【解析】（1）根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，由圖象可得f（x）的單調遞增區間；（2）令x＞0，則﹣x＜0，根據條件可得f（﹣x）=x2﹣2x，利用函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，從而可得函數f（x）的解析式；（3）先求出拋物線對稱軸x=2a﹣﹣1，然后分當2a+1≤1時，當1＜2a+1≤2時，當2a+1＞2時三種情況，根據二次函數的增減性解答．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．