Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知函數，且曲線在點處的切線與直線平行.

(1)求的值；

(2)判斷函數的單調性；

(3)求證：當時，

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 在上是增函數；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出的導函數，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件，可得的值；（2）對原函數求導，得 ，討論與作比較，則本題轉化為求的最值，由導數可求的最小值，得在給定的范圍內為增函數；（3）本題可轉化為證明，由的單調性得得，利用導數可證明函數的單調性，得證 ，則此題得證.

(1) ，

令,得，解得.

（2）由(1)知， ， .

再令 則

當時, , 遞增;當時， , 遞減;

∴在處取得唯一的極小值，即為最小值.

即 ∴,

∴在上是增函數.

(3) 要證，即證 ，

由(1)知，當 時， 為增函數，

故 故.

令 ，則，

∵, ∴ ∴ 即在上是減函數，

∴時， ，

所以， 即 .

所以.