Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax2（a∈R）．
（1）若g（x）= 有三個極值點x1 ， x2 ， x，求a的取值范圍；
（2）若f（x）≥﹣ax3+1對任意x∈[0，1]都恒成立的a的最大值為μ，證明：5 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）= ，定義域為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），

g′（x）= ，∵g′（0）=0，

只需h（x）=ex﹣ax﹣2a=0應有兩個既不等于0也不等于﹣1的根，h′（x）=ex﹣a，

①當a≤0時，h′（x）＞0，∴h（x）單增，h（x）=0最多只有一個實根，不滿足；

②當a＞0時，h′（x）=ex﹣a=0x=lna，

當x∈（﹣∞，lna）時，h′（x）＜0，h（x）單減；

當x∈（lna，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）單增；∴h（x0）是h（x）的極小值，

而x→+∞時，h（x）→+∞，x→﹣∞時，h（x）→+∞，

要h（x）=0有兩根，只需h（lna）＜0，

由h（lna）=elna﹣alna﹣2a＜0﹣alna﹣a＜0lna＞﹣1a＞

又由h（0）=1﹣2a≠0a≠ ，

反之，若a a 且時，則h（﹣1）= ，h（x）=0的兩根中，一個大于﹣1，另一個小于﹣1．

在定義域中，連同x=0，g′（x）=0共有三個相異實根，

且在三根的左右，g′（x）正負異號，它們是g（x）的三個極值點．

綜上，a的取值范圍為（ ， ）

（2）證明： f（x）≥﹣ax3+1對任意x∈[0，1]都恒成立

ex﹣ax2≥﹣ax3+1ex﹣1≥a（x2﹣x3）對x∈[0，1]恒成立，

①當x=0或1時，a∈R均滿足；

②ex﹣1≥a（x2﹣x3）對x∈（0，1）恒成立a≤ 對x∈（0，1）恒成立，

記u（x）= ，x∈（0，1），則（a）max=μ=（ ）min，x∈（0，1），

欲證5 5＜（ ）min＜ ，

而 ，

只需證明 ，顯然成立．

下證： ，

先證： ， ，

令 ， ，

∴v'（x）在（0，1）上單增，v″（x）＞v″（0）=0，

∴v'（x）在（0，1）上單增，∴v′（x）＞v′（0）=0，∴v′（x）在（0，1）上單增，

∴v（x）＞v（0）=1，即證．

要證：ex＞5x2﹣5x3+1，x∈（0，1），

只需證1+x+ + ≥5x2﹣5x3+1，x（0，1）

31x3﹣27x2+6x≥0x（31x2﹣27x+6）≥031x2﹣27x+6≥0，x∈（0，1）

而△=272﹣4×31×6=﹣15＜0，開口向上，上不等式恒成立，從而得證命題成立

【解析】1、由已知求導可得h′（x）=ex﹣a，利用導數可求出函數的極值，進而得到h（x0）是h（x）的極小值。
2、利用導數求閉區間上函數的最值。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．